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数学猜想是什么?它到底有什么用?

来源:加拿大多伦多大学文理学院 作者:唐国强 VIEW: 发布时间:2020-10-13

数学猜想(或称数学猜测、数学假设、数学问题等)是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断,它既有逻辑的成分,又含有非逻辑的成分,因此它具有一定的科学性和很大程度的假定性。这样的假定性命题是否正确,尚需通过验证和论证。虽然数学猜想的结论不一定正确,但它作为一种创造性的思维活动,是科学发现的一种重要方法,也是数学独特魅力的主要体现之一。

数学猜想由前提和结论两部分组成;它以已有的部分事实和正确的数学知识(公理、定理、公式等)为前提,以在前提的基础上作出的假定性的判断为结论。数学猜想可分为存在型猜想(如“费马猜想”)、状态型猜想(如“庞加莱猜想”)、规律型猜想(如“abc猜想”)、关系型猜想(如“哥德巴赫猜想”)、方法型猜想(如“四色问题”)等。它是以一定的数学事实为根据,包含着以数学事实作为基础的可贵的想象成分;没有数学事实作根据,随心所欲地胡猜乱想得到的命题不能称之为“数学猜想”。

数学猜想通常是应用观察、类比、分析、归纳等方法提出的,或者是在灵感中、直觉中闪现出来的。例如,中国数学家、语言学家周海中根据已知的梅森素数及其排列,巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年正式提出了梅森素数分布的重要猜想(即“周氏猜测”);美籍挪威数学家、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为:周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。

数学猜想是猜想者运用分析、综合、演绎尤其是类比、归纳等科学发现的思维方法,通过对数学对象和客观现象的洞察而预测新的数学事实与规律。创新性是其重要特征,没有创新,就谈不上数学猜想;创新是数学猜想的灵魂,它需要改变旧的思维方式、方法,突破固有的理论观点。数学猜想的创新性表现于揭示新的数学事实、预见新的数学规律。可见创新性是数学猜想的一大特点。

数学猜想有的被验证为正确的(如费马大定理、卡塔兰猜想、庞加莱猜想、林格尔猜想等),并转化为定理,汇入数学理论体系之中;有的被验证为错误的(如梅森猜想、欧拉猜想、费马数猜想、冯·诺伊曼猜想等);还有一些正在验证过程中(如abc猜想、黎曼假设、杰波夫猜想、哥德巴赫猜想等)。可以说,数学猜想的解决对于数学发展所带来的影响,不仅在于猜想本身的被证明(证实))或证否(证伪),而且还在于新方法、新理论的提出;而解决数学猜想过程中所采用的创新研究方法,也是数学发展的重大影响因子。

数学猜想一般都是经过对大量事实的观察、验证、类比、归纳、概括等而提出来的。这种从特殊到一般,从个性中发现共性的方法是数学研究的重要动力。数学猜想的提出与研究,生动地体现了辩证法在数学中的应用,极大地推动了数学方法论的研究;而数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用,许多比较困难的重大问题的解决,往往取决于数学概念和数学方法上的突破。

此外,数学猜想往往成为数学发展水平的一项重要标志,它的探究会带来新的数学内容,也会诱导出一些新的课题或猜想。例如:费马大定理产生了“理想数”概念,开创了代数数论;哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展,尤其是发现了殆素数、例外集合、小变量的三素数定理等;四色问题通过电子计算机得以解决,从而开辟了机器证明的新时代;黎曼假设不仅使素数定理得以证明,还使1000多个数学命题(以黎曼假设成立为前提)得以提出。从这个意义上讲,数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽的宝石”,而且是一只只“能生金蛋的母鸡”。

可以说,数学猜想对于数学发展的作用巨大,而数学发展往往影响着一个国家的综合实力。对于数学猜想之于科学知识的作用,德国数学家卡尔·高斯有句名言:“若无某种大胆果敢的猜想,一般是不可能有知识进展的。”数学知识的进展往往会促进科学的发展,乃至唤起科学的革命。因此,数学猜想是推动科学发展的强大动力之一。许多科学家认为,数学猜想会造就一种独特的魅力,这种魅力会使它独树一帜,激发人们对它的探究兴趣。

何种数学猜想会造就独特魅力呢?前不久,荷兰数学家、物理学家罗贝特·捷格拉夫在《量子》杂志发表的“数学猜想的机巧艺术”一文中认为:一

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